Cirkulär rörelse


Inledning:

Cirkulär rörelse är en typ av rörelse som ofta används fysiken för att räkna ut många problem. Den används mycket inom astrofysiken för att räkna ut planeter och satelliters rörelser i dess banor runt t.ex. jorden. För dessa uträkningar krävs cirkelrörelser.

Vi startar med att undersöka föremål som rör sig i en konstant hastighet runt en bana (banhastighet). Hastighetens absolutvärde är hela tiden konstant men inte hastighetsvektorn. Detta beror på att hastigheten hela tiden ändrar riktning vilket i sin tur ger oss att föremålet har en acceleration (a). Genom följande formel så kan vi bestämma riktningen och absolutvärdet till accelerationen:

Härledning

Som sagt så följer föremålet en cirkulär bana. Vi döper cirkelbanans mittpunkt till O och radien till r.

Bild 1.01 där alla värden är finns inplacerade

Vårt föremål passerar genom punkten A när tiden är t, och punkten B när tiden är t + ∆t. Vinkeln mellan OB och OA är lika med θ. Eftersom avståndet mellan punken A och B till mittpunken är radien så kan vi skriva följande formel:
r = OA = OB

Detta ger oss då att toppvinkeln i den likbenta triangeln OAB är lika med θ vilket i sin tur ger oss följande samband: OB = OA + AB och eftersom AB = ∆s så kan vi skriva att ∆s = OB – OA

Eftersom vi vet att hastighetsvektorerna är tangenter till cirkelbanan så måste det betyda att vA är vinkelrät mot OA och vB måste vara vinkelrät mot OB. Vinkeln mellan vA och vB är alltså samma som för vinkeln mellan OB och OA. Den nya triangeln ser ut som nedan:

Bild 1.02 där alla värden är finns inplacerade

Triangeln har sidorna vA, vB och ∆v. Likt som tidigare så kan vi då skriva följande samband:
∆v = vB – vA

Banhastigheten är som sagt konstant vilket gör triangeln till en likbent triangel med medelaccelerationen ∆v/∆t under tiden ∆t. Vi låter därefter ∆t gå mot noll. Detta gör att även θ kommer gå mot noll. Om båda dessa går mot noll så kommer medelaccelerationen att närma sig vinkelrätt mot vA och på så sätt peka in mot centrum av cirkelbanan. Momentanaccelerationen i punken A pekar alltså in mot cirkelbanans centrum.

De båda trianglarna i bild 1.01 och bild 1.02 är likbenta och har samma toppvinkel. Detta gör att vi kan sätt upp följande samband:


Vi dividerar med ∆t på båda sidor och därefter förenklar vi formeln:


Vi här därmed härlett formeln för centripetalacceleration:

Centripetalaccelerationen verkar vinkelrätt mot hastigheten och är konstant så länge föremålet är i en cirkulär bana


När föremålet har en omloppstid (T) i cirkelbanan så kan vi skriva banhastigheten till:


Genom att byta ut hastigheten i formen a = v2/r med formeln ovan får vi en ny formel för centripetalacceleration:


Den nya formeln blir alltså:

Tillbaks till toppen