Exempel på cirkulär rörelse

Exempel 1

Problem:
En boll rullas så i en halvcirkelformad bana. Det tar 10 s för bollen att rulla den halvcirkelformade banan vilket den också gör med konstant hastighet. Banan har en radie på 20 m. Vad får bollen för centripetalacceleration i banan?

Bild av problemet


Känt är:


Lösning:
Till att börja med så tar vi reda på hur lång sträcka bollen ska rulla runt i banan. Vi vet att radien är 20 m. Genom att ta reda på vad omkretsen för banan är så får vi reda på hur lång sträcka en cirkelformad variant av banan skulle vara. Men eftersom det var en halvcirkelformad banan bollen skulle rulla i så måste vi dividera omkretsen med 2:

omkretsen = sträckan för banan


Vi behåller formeln som den är och väntar med att sätta in våra värden. Nu räknar vi ut vad hastigheten är. Eftersom hastigheten var konstant genom hela banan så kan vi använda oss av medelhastighetsformeln:

Även denna formel låter vi vara som den är utan att stoppa in värden. Nu har vi tillräckligt med information för att räkna ut vad centripetalaccelerationen är:


Svar: Centripetalaccelerationen för bollen i cirkelbanan är 1,97 m/s2.




Exempel 2

Problem:
En kloss gungar i en cirkelformad bana med radien 4,2 m. Gungans vikt är på 2 kg och klossen väger 45 kg. Klossens utgångspunkt ligger 1,9 m upp i luften mot gungans lägsta punkt. Beräkna hur stor hastighet klossen passerar gungradiens bottenläget med. Beräkna även hur stor kraften är i repen som håller gungan uppe då klossen befinner sig i bottenläget.

Bild av problemet


Känt är:


Lösning:
Eftersom klossen befinner sig en viss höjd över bottenläget kan vi säga att den har en
potentiell energi där upp (lägesenergi). När den sedan kommer ner till bottenläget har klossen förflyttat sig en viss höjd och den potentiella energin har då omvandlats till rörelseenergi (kinetisk energi). Genom detta samband kan vi då ta reda på vad hastigheten är för klossen när den passerar sitt bottenläge:


Hastigheten klossen har när den passerar gungbanans lägsta punkt är alltså ca.6,1 m/s

För att ta reda på vad kraften i repen är som håller gungan uppe så måste vi rita upp vilka krafter som verkar på klossen:

Bild där alla krafter som verkar på klossen finns inskrivna

För att repen ska hålla så måste resultanten av krafterna vara lika med centripetalkraften. Vi sätter upp följande samband och gör Frep ensam:


Vi byter sedan ut Fc och Fg mot dess formler. Därefter sätter in våra värden:


Svar: Hastigheten för klossen när den passerar gungbanans lägsta punkt är alltså ca.6,1 m/s och repens kraft är då ca.0,88 kN.




Exempel 3

Problem:
På vilken höjd över jordens yta måste en geostationär satellit befinna sig för att stå stilla på samma ställe på himlen hela tiden? Använd jordens ekvator radie.

Bild av problemet


Lösning:
Till att börja med så måste vi ta reda på jordens omloppstid i sekunder:

Sedan så använder vi oss av centripetalaccelerationens formel för som lyder att:

Eftersom satelliten ska se ut att vara i stillastående läge så måste centripetalaccelerationen i den cirkulärare rörelsen vara lika med accelerationen för Newtons gravitationslag. Detta gör att vi kan göra som nedanstående process:


Nu har vi fått fram ett samband där vi vet vad all mätdata är förutom en, vilket är radien (r). Så nu är det bara att göra radien ensam:


Nu är det bara att sätta in våra värden i formeln:


Observera att den radie vi räknat ut är radien från jordens centrum till den geostationära satelliten. Eftersom det stod i uppgiften att vi ville få reda på avståndet från jordens yta till satelliten är så måste vi subtrahera bort jorden radie på vårt beräknade avstånd:


Svar: Vår geostationära satellit måste befinna sig ca.35 800 km från jordytan.




Exempel 4

Problem:
Ett flygplan svänger i luften med en vinkel på 35o från normalt läge. Flygplanet väger 40 ton och har en hastighet på 600 km/h när den svänger.

a) Visa först vilken riktning resultanten av tyngden Fg och lyftkraften FL ska vara. Beräkna även hur stora de är.
b) Beräkna flygets svängradie.

Bild av problemet


Känt är:

a)

Lösning:
Enligt kraftvektorer så vet vi hur vi ska dra den resulterande kraften av tyngden:

Bild där resultanten (Fres) visas

Den resulterande kraften är döpt till Fres och är riktad vågrätt in mot centrum av flygplanets svängbana.

Genom att rita en ny bild av de krafter som verkar så kan vi förlänga Fg likt bilden nedan:

Bild där samtliga krafter visas

För att räkna ut resultanten och lyftkraften så måste vi använda oss av trigonometri formlerna. Men föst så räknar vi ut vad α vinkeln i bilden ovan är:


Nu har vi tillräkligt med information för att räkna ut vad Fres och FL är. Låt oss börja med att räkna ut Fres:


Svar: Resultanten Fres har en kraft på 0,28 MN och lyftkraften FL har en kraft på 0,48 MN.


b)

Lösning:
För att beräkna svängradien så använder vi oss av formeln för centripetalkraften men vi byter ut Fc mot Fres av den anledningen att vår centripetalkraft är Fres:


Svar: Flygets svängradie är ca.4,0 km.

Tillbaks till toppen