Härledning av rörelselagarna

Härledning 1

Den allra mest använda och grundläggande hastighetsformeln lyder att man genom att dividera sträckan med tiden får fram hastigheten. Denna formel kan härledas genom att titta på ett föremål som har konstant hastighet hela tiden. Då får vi en sträckaformel enligt grafen nedan då arean är sträckan:

Bild 1.01 av ett s-t-diagram

Gör man om denna formel så får man fram den kända hastighetsformeln:

Man kan även kolla på hastighetens enhet (m/s) för att härleda formeln. Enheten avslöjar att man genom att dividera sträckan mätt i meter med tiden mätt i sekunder får fram hastigheten.

Detta är som sagt den mest grundläggande och lättbegripliga sambandet inom momentet rörelse.




Härledning 2

Vi kan genom att rita grafen (bild 1.02) för hur hastigheten förändras beroende på tiden se att hastigheten multiplicerat med tiden bildare en area som betecknar sträckan. Genom att dela upp denna area i två så kan får vi en kvadratisk area (s1) och en triangelformad (s2):

Bild 1.02

I härledning 1 så beskrev vi att arean i ett diagram/graf som bild 1.02 är lika med sträckan. Detta gör att vi kan sätta upp följande likheter:

För att räkna ihop den totala sträckan (arean) så adderar vi ihop s1 och s2 :


För att räkna ut sträckan kan vi genom denna härledning använda oss av formeln:

v0 är utgångshastigheten och v är den hastighet föremålet har.




Härledning 3

Tänk dig nu att du har en utgångshastighet (v0) och därefter accelererar du inom en viss tid. Efter denna acceleration kommer du ha fått en högre hastighet (v). För att kunna härledan denna nya formel så måste vi använda oss av följande graf igen:

Bild 1.03

I grafen så ökar hastigheten under ett visst tidsintervall. Lutningen i grafen är då accelerationen. Lutningen i grafen beskriver därmed hur snabbt hastigheten ökar och det är så vi definierar accelerationen.

För att härleda formeln så börjare vi med att ta reda på två punkter i grafen. Vi väljer punkterna (0, v0) och (t, v). Som vi har nämnt så är accelerationen lutnigen i grafen. För att ta reda på lutningen så sätter vi upp följande samband som känns igen från mattematiken då k är lutningen som kan ersättas med a:


Den formel vi härlett oss fram till är alltså:

Denna formel används då man har ett föremål som har en utgångshastighet och sedan accelererar upp till en ny hastighet inom ett visst t idsintervall.




Härledning 4

Det finns även en formel då du har en utgångshastighet och en kommande hastighet som du kommer upp i beroende av sträckan och accelerationen. För att kunna härleda denna formel så måste vi använda oss av två tidigare formler och slå ihop dem. De formler vi använder oss av är:

Vi börjar med att använda den första formeln och gör tiden ensam:

Därefter så byter vi ut t i sträckaformeln mot vår nyskapade formel:


Denna formel föränklar vi därefter med hjälp av kvadreringsregeln :


Därefter så flyttar vi om formeln till ett snyggare resultat:


Den formel vi härlett oss fram till är alltså:

Som används ofta vid många fysikaliska uträkningar.




Härledning 5

Nu ska vi härleda den sista grundläggande formeln som beskriver sträckan ifall du har en utgångshastighet , tid och acceleration. För att få fram denna formel så måste vi använda oss av två tidigare formler:


Vi byter ut v i sträckaformeln mot hastighetsformeln:


Den formel vi härlett oss fram till är alltså:

Tillbaks till toppen